Ketaksamaan Chaucy Schwarz Engel

Ketaksamaan Cauchy Schwarz merupakan Ketaksamaan yang cukup ampuh untuk memecahkan berbagai macam persoalan yang menyangkut soal ketaksamaan pada olimpiade matematika tingkat nasional maupun internasional. Pada paper ini akan diperkenalkan bentuk lain dari ketaksamaan Cauchy Schwarz yaitu Ketaksamaan Cauchy Schwarz Engel [CS Engel] yang di populerkan oleh Arthur Engel. CS Engel ini terbukti ampuh dalam menyelesaikan bentuk ketaksamaan rumit dengan cukup mudah. Dalam paper ini juga akan disajikan permasalahan yang terjadi pada soal-soal olimpiade matematika tingkat Dunia.

Ketaksamaan Chaucy Schwarz merupakan salah satu bentuk pertidaksamaan yang terkenal dalam penyelesaian soal-soal kompetisi matematika di berbagai negara. Indonesia termasuk salah satunya. Bersama dengan AM-GM, keduanya menjadi senjata yang wajib dimiliki setiap orang yang berangkat berkompetisi dalam olimpiade bidang matematika. Berikut secara ringkas saya paparkan bentuk tersebut.

Ketaksamaan Chaucy Schwarz}] Misalkan $a_{1},a_{2},\ldots a_{n}$ dan $b_{1},b_{2},\ldots b_{n}$ adalah bilangan-bilangan bernilai Real maka berlaku,\begin{eqnarray*} \left(a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+\cdots+a_{n}^{2}\right)\left(b_{1}^{2}+b_{2}^{2}+\cdots+b_{n}^{2}\right)\geq\left(a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+\cdots+a_{n}b_{n}\right)^{2}\end{eqnarray*}Kesamaan terjadi jika dan hanya jika ${\displaystyle \frac{a_1}{b_1}=\frac{a_2}{b_2}=\cdots=\frac{a_{n}}{b_{n}}}$

Ketaksamaan Chaucy diatas dapat kita tulis menjadi
$$\left(\sum_{k=1}^{n} a_kb_k \right)^2 \leq \left(\sum_{k=1}^{n} a_k^2\right)\left(\sum_{k=1}^{n} b_k^2\right)$$
Nah sekarang kita mencoba membuktikan ketaksamaan tersebut.

Bukti :

Didefenisikan fungsi $F:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ dengan
$$F(t):=\sum_{k=1}^{n} (a_k-tb_k)^2$$
Jelas $F$ fungsi taknegatif, karena itu diperoleh
\begin{eqnarray*}
F(t)&=&\sum_{k=1}^{n} a_k^2-2ta_kb_k+t^2b^2_k\\
&=&\left(\sum_{k=1}^{n} b_k^2\right)t^2-2\left(\sum_{k=1}^{n} a_kb_k\right)t+\left(\sum_{k=1}^{n} a_k^2\right) \geq 0.
\end{eqnarray*}
Jadi $F$ merupakan fungsi kuadrat definit tak negatif, sehingga diskriminannya pun tak negatif, yaitu
$$4\left(\sum_{k=1}^{n} a_kb_k\right)^2-4\left(\sum_{k=1}^{n} a_k^2\right)\left(\sum_{k=1}^{n} b_k^2\right)\leq 0$$
Akhirnya dengan memindahkan ruas pada ketidaksamaan ini terbuktilah bahwa $$\left(\sum_{k=1}^{n} a_kb_k \right)^2 \leq \left(\sum_{k=1}^{n} a_k^2\right)\left(\sum_{k=1}^{n} b_k^2\right)$$ Pada ketaksamaan Chaucy Schwarz apabila dipilih ${\displaystyle a_{1}=\frac{t_{1}}{\sqrt{w_{1}}}}$ dan $b_{1}=\sqrt{w_{1}}$ dengan $w_{1}\geq0$ diperoleh
\begin{eqnarray}
\left(\frac{t_{1}^{2}}{w_{1}}+\frac{t_{2}^{2}}{w_{2}}+\cdots+\frac{t_{n}^{2}}{w_{n}}\right)\left(w_{1}+w_{2}+\cdots+w_{n}\right)\geq\left(t_{1}+t_{2}+\cdots+t_{n}\right)^{2}
\end{eqnarray}
Dari sini kita dapatkan kesimpulan, untuk sembarang bilangan Real $t_{1},t_{2},\cdots,t_{n}$ dan sembarang bilangan real positif $w_{1},w_{2},\cdots,w_{n}$ berlaku

\begin{eqnarray}
\frac{t_{1}^{2}}{w_{1}}+\frac{t_{2}^{2}}{w_{2}}+\cdots+\frac{t_{n}^{2}}{w_{n}}\geq\frac{\left(t_{1}+t_{2}+\cdots+t_{n}\right)^{2}}{w_{1}+w_{2}+\cdots+w_{n}}
\end{eqnarray}


Ketaksamaan  diatas dikenal dengan "ketaksamaan Chaucy Schwarz Engel [CS Engel]" yang dipopulerkan oleh Arthur Engel di Jerman. Sedangkan di Amerika sering disebut "Lemma Adreescu''. Berikut beberapa contoh penggunaan Ketaksamaan CS Engel ini.

Untuk contoh penggunaan Ketaksamaan Chaucy Schwarz Engel dapat anda lihat pada postingan kami selanjutnya disini