Integral Tak Wajar (Lanjutan)

Melanjutkan postingan sebelumnya, tentang integral tak wajar.

Integral Tak Wajar Jenis Kedua

Pada integral jenis ini selang pengintegralan diperluas menjadi $(-\infty,\infty)$.
Perhatikan defenisi berikut

Jika ${\displaystyle \int_{-\infty}^{0}f(x)dx}$ dan ${\displaystyle \int_{0}^{\infty}f(x)dx}$ keduanya konvergen, maka ${\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty}f(x)dx}$ dikatakan konvergen dan memiliki nilai

$$\int_{-\infty}^{\infty}f(x)dx=\int_{-\infty}^{0}f(x)dx+\int_{0}^{\infty}f(x)dx$$
Jika sebaliknya maka ${\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty}f(x)dx}$ divergen.

Contoh :

Hitunglah ${\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{x^{2}+1}dx}$ dan tunjukkan bahwa integral tersebut konvergen

Jawab:

Integral diatas dapat kita tulis menjadi
$$\int_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{x^{2}+1}dx=\int_{-\infty}^{0}\frac{1}{x^{2}+1}dx+\int_{0}^{\infty}\frac{1}{x^{2}+1}dx$$
Karena Fungsi ${\displaystyle \frac{1}{x^{2}+1}}$ adalah fungsi genap maka kita dapatkan
\begin{eqnarray*}
\int_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{x^{2}+1}dx & = & 2\int_{0}^{\infty}\frac{1}{x^{2}+1}dx\\
& = & 2\left(\lim_{b\to\infty}\int_{0}^{b}\frac{1}{x^{2}+1}dx\right)\\
& = & 2\lim_{b\to\infty}\tan^{-1}\bigg|_{0}^{b}\\
& = & 2\cdot\lim_{b\to\infty}\left(\tan^{-1}(b)-\tan^{-1}(0)\right)\\
& = & 2\cdot\frac{\pi}{2}\\
& = & \pi
\end{eqnarray*}