Integral Parsial

3:19:00 PM
Apabila kita menggunakan metode substitusi dalam mengintegralkan suatu fungsi tidak berhasil dikarenakan fungsinya cukup rumit, seperti $\int 2x \sin(x)dx$ maka kita dapat menerapkan metode penggunaan ganda atau kita sebut dengan pengintegralan parsial. Metode ini didasarkan pada pengintegralan rumus turunan hasil kali dua fungsi.

Jika $f$ dan $g$ merupakan fungsi yang diferensiabel maka berlaku aturan
$$\frac{d}{dx}[f(x)\cdot g(x)]=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)$$
Jika aturan tersebut kita integralkan, maka akan kita dapatkan
\begin{eqnarray*}
\int \frac{d}{dx}[f(x)\cdot g(x)]dx&=& \int (f'(x)g(x))dx+\int (f(x)g'(x))dx\\
f(x)g(x)+C&=&\int (f'(x)g(x))dx+\int (f(x)g'(x))dx\\
\int (f(x)g'(x))dx&=&f(x)g(x)-\int (f'(x)g(x))dx + C
\end{eqnarray*}
Jika kita lihat rumus diatas dapat kita sederhanakan dengan melakukan pemisalan yaitu:

$u=f(x) \Rightarrow du=f'(x)dx$
$v=g(x) \Rightarrow dv=g'(x)dx$
$$\displaystyle \int udv=uv-\int vdu$$
Dalam pemisalan $u$ dan $dv$ kita harus tepat, karena jika tidak maka bentuk integral akan menjadi lebih rumit untuk diselesaikan, sehingga disarankan untuk mencari pemisalan yang dapat membuat fungsi menjadi lebih sederhan jika diintegralkan. Untuk memahami aturan integral parsial diatas mari kita simak contoh-contoh berikut

Contoh 
1.  Tentukan $\int 6x(x+2)^5dx$

Jawab:
Misalkan

$u=6x \Rightarrow du=6dx$

$dv=(x+2)^5dx\Rightarrow v=\int (x+2)^5dx=\frac{1}{6}(x+2)^6$

Dengan menggunakan rumus integral parsial menjadi
\begin{eqnarray*}
\int\underset{u}{\underbrace{6x}}\underset{dv}{\underbrace{\left(x+2\right)^{5}dx}} & = & \underset{u}{\underbrace{6x}}\underset{v}{\underbrace{\frac{1}{6}\left(x+2\right)^{6}}}-\int\underset{v}{\underbrace{\frac{1}{6}\left(x+2\right)^{6}}}\underset{du}{\underbrace{(6dx)}}\\
& = & x(x+2)^{6}-\int(x+2)^{6}dx\\
& = & x(x+2)^{6}-\frac{1}{7}(x+2)^{7}+C
\end{eqnarray*}

2.   Tentukan $\int x\cos(x)dx$

Jawab:
Misalkan

$u=x\Rightarrow du=dx$

$dv=\cos(x)dx\Rightarrow v=\int\cos(x)dx=\sin(x)$

Dengan menggunakan rumus integral parsial menjadi
\begin{eqnarray*}
\int\underset{u}{\underbrace{x}}\underset{dv}{\underbrace{\cos(x)dx}} & = & \underset{u}{\underbrace{x}}\underset{v}{\underbrace{\sin(x)dx}}-\int\underset{v}{\underbrace{\sin(x)}}\underset{du}{\underbrace{dx}}\\
& = & x\sin(x)-\left(-\cos(x)\right)+C\\
& = & x\sin(x)+\cos(x)+C
\end{eqnarray*}
Pemisalan diatas tampaknya sangat berhasil. Sebaliknya jika kita kurang teliti dalam pemisalan maka kita akan mendapatkan bentuk berikut:

Misalkan

$u=\cos(x)\Rightarrow du=-\sin(x)dx$

$dv=xdx\Rightarrow v=\int xdx=\frac{1}{2}x^{2}$

Dengan menggunakan rumus integral parsial menjadi
\begin{eqnarray*}
\int\underset{u}{\underbrace{\cos(x)}}\underset{dv}{\underbrace{xdx}} & = & \underset{u}{\underbrace{\cos(x)}}\underset{v}{\underbrace{\frac{1}{2}x^{2}}}-\int\underset{v}{\underbrace{\frac{x^{2}}{2}}}\underset{du}{\underbrace{(-\sin(x)dx)}}\\
\end{eqnarray*}
Pemisalan diatas memang betul, akan tetapi membuat fungsi pada ruas kanan menjadi rumit untuk diintegralkan. Oleh karena itu, sangat penting untuk memilih $u$ dan $dv$ yang tepat sehingga integral menjadi lebih sederhana.


Sumber  : Buku matematika SMA Kelas XII Pusat Perbukuan.

Artikel Terkait

Next Article
« Prev Post
Previous Article
Next Post »