Integral dengan bentuk $\sqrt{a^2-x^2}$, $\sqrt{x^2+a^2}$ dan$\sqrt{x^2-a^2}$

Dalam kali ini akan membahas integral cara menyelesaikan integral dengan bentuk $\sqrt{a^2-x^2}$, $\sqrt{x^2+a^2}$ dan $\sqrt{x^2-a^2}$. Pada integral kali ini sebenarnya sama dengan integral substitusi. Akan tetapi pada substitusi kali ini dengan menggunakan fungsi trigonometri. Jadi teknik ini biasa disebut integral substitusi lanjutan.


Konsep dasar penyelesaian integral dengan bentuk di atas adalah mengubah bentuk akar menjadi bentuk fungsi trigonometri yang sederhana sehingga akan lebih mudah diselesaikan. Bentuk-bentuk tersebut adalah sebagai berikut:

1.  Bentuk $\sqrt{a^2-x^2}$


Langkah-langkah penyelesaiannya adalah sebagai berikut.
a.   Gunakan pemisalan $x=a\sin(t)$ dengan batas-batas $-\frac{\pi}{2}\leq t \leq \frac{\pi}{2}$. Maka kita dapatkan $dx=a\cos(t)dt$
b.   $\sin(t)=\frac{x}{a}$ atau $t=\arcsin \left(\frac{x}{a}\right)$
c.   Substitusikan kedalam fungsi awal menjadi
\begin{eqnarray*} \sqrt{a^{2}-x^{2}} & = & \sqrt{a^{2}-(a\sin(t))^{2}}\\ & = & \sqrt{a^{2}-a^{2}\sin^{2}(t)}\\ & = & \sqrt{a^{2}(1-\sin^{2}(t))}\\ & = & \sqrt{a^{2}\cos^{2}(t)}\\ & = & a\cos(t) \end{eqnarray*} $$ \sqrt{a^2-x^2}=a\cos(t)$$


2.   Bentuk $\sqrt{x^2+a^2}$


Langkah-langkah penyelesaiannya adalah sebagai berikut.
a.  Gunakan pemisalan $x=a\tan(t)$ dengan batas-batas $-\frac{\pi}{2}\leq t \leq \frac{\pi}{2}$. Maka kita dapatkan $dx=a\sec^2(t)dt$
b.   $\tan(t)=\frac{x}{a}$ atau $t=\arctan \left(\frac{x}{a}\right)$
c.   Substitusikan kedalam fungsi awal menjadi
\begin{eqnarray*}
\sqrt{x^{2}+a^{2}} & = & \sqrt{\left(a\tan(t)\right)^{2}+a^{2}}\\
& = & \sqrt{a^{2}\tan^{2}(t)+a^{2}}\\
& = & \sqrt{a^{2}\left(\tan^{2}(t)+1\right)}\\
& = & \sqrt{a^{2}\sec^{2}(t)}\\
& = & a\sec(t)
\end{eqnarray*}
$$\sqrt{x^2+a^2}=a\sec(t)$$


3.   Bentuk $\sqrt{x^2-a^2}$



Langkah-langkah penyelesaiannya adalah sebagai berikut.
a.  Gunakan pemisalan $x=a\sec(t)$ dengan batas-batas $0\leq t \leq \pi,t\neq \frac{\pi}{2}$. Maka kita dapatkan $dx=a\sec2(t)\tan(t)dt$
b.   $\sec(t)=\frac{x}{a}$ atau $t=sec^{-1} \left(\frac{x}{a}\right)$
c.   Substitusikan kedalam fungsi awal menjadi
\begin{eqnarray*}
\sqrt{x^{2}-a^{2}} & = & \sqrt{\left(a\sec(t)\right)^{2}-a^{2}}\\
& = & \sqrt{a^{2}\sec^{2}(t)-a^{2}}\\
& = & \sqrt{a^{2}\left(\sec^{2}(t)-1\right)}\\
& = & \sqrt{a^{2}\tan^{2}(t)}\\
& = & a\tan(t)
\end{eqnarray*}
$$ \sqrt{x^2-a^2}=a\tan(t)$$ Untuk contohnya kita sambung pada postingan selanjutnya....