Induksi Matematika (Lanjutan)

1.  Untuk setiap $ \in \mathbb{N}$, jumlah $n$ bilangan asli pertama diberikan dengan
$$1+2+3+4+ \cdots +n=\frac{1}{2}n(n+1)$$
Untuk membuktikan ini misalkan $S$ adalah himpunan semua $n \in \mathbb{N}$ sehingga formula di atas berlaku. Kita harus membuktikan syarat (1) dan (2) di dalam Teorema sebelimnya dipenuhi. Jika $n = 1$, maka diperoleh $1 = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot (1 + 1)$, sehingga $1 \in S$. Jadi syarat (1) di dalam Teorema  dipenuhi. Selanjutnya diasumsikan bahwa $k \in S$ dan ditunjukkan $(k + 1) \in S$. Jika $k \in S$, maka berlaku

$$1+2+3+4+ \cdots +k=\frac{1}{2}k(k+1)$$Jika kedua sisi ditambah dengan $(k + 1)$, maka diperoleh
$$1+2+3+4+ \cdots +k+(k+1)=\frac{1}{2}k(k+1)+(k+1)=\frac{1}{2}(k+1)(k+2)$$Ini berarti $(k + 1) \in S$. Akibatnya syarat (2) di dalam Teorema dipenuhi. Selanjutnya dengan Prinsip Induksi Matematika, disimpulkan $S = \mathbb{N}$ dan formula benar untuk semua $n \in \mathbb{N}$.

2.  Untuk setiap $n \in \mathbb{N}$, jumlah kuadrat $n$ bilangan asli pertama diberikan dengan
$$1^2+2^2+3^2+ \cdots + n^2=\frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)$$
Untuk membuktikan ini misalkan $S$ adalah himpunan semua $n \in \mathbb{N}$ sehingga formula di atas berlaku. Kita harus membuktikan syarat (1) dan (2) di dalam Teorema dipenuhi. Jika $4n = 1$, maka diperoleh $12 = \frac{1}{6} \cdot 1 \cdot(1 + 1)(2 + 1)$, sehingga $1 \in S$. Jadi syarat (1) di dalam Teorema  dipenuhi. Selanjutnya diasumsikan bahwa $k \in S$ dan ditunjukkan $(k + 1) \in S$. Jika $k \in S$, maka berlaku

$$1^2+2^2+3^2+ \cdots + k^2=\frac{1}{6}k(k+1)(2k+1)$$
Jika kedua sisi ditambah dengan $(k + 1)$, maka diperoleh
\begin{eqnarray*}
1^2+2^2+3^2+ \cdots + k^2+(k+1)^2&=&\frac{1}{6}k(k+1)(2k+1)+(k+1)^2\\
&=&\frac{1}{6}(k+1)(k+2)(2k+3)
\end{eqnarray*}
Ini berarti $(k + 1) \in S$. Akibatnya syarat (2) di dalam Teorema  dipenuhi. Selanjutnya dengan Prinsip Induksi Matematika, disimpulkan $S = \mathbb{N}$ dan formula benar untuk semua $n \in \mathbb{N}$.