Soal Olimpiade Matematika

Berikut ini saya sajikan tentang soal olimpiade matematika yang saya sempat dapat di internet. Hanya satu soal saja untuk sementara dan mengisi postingan blog ini. Rencananya mau posting banyak-banyak, tapi takut nanti salah-salah.

Soalnya begini.....

Tentukan semua nilai $k$ yang mungkin sehingga tidak ada pasangan bilangan real $(x,y)$ yang memenuhi persamaan
\begin{align*}x^2-y^2&=0\\(x-k)^2+y^2&=1\end{align*}

Penyelesaian :


Dari persamaan pertama diperoleh $y=\pm x$. Hal ini berarti pasangan $(x,y)$ keduanya adalah real atau keduanya adalah imajiner. Kemudian substitusikan $y^2$ ke persamaan kedua sehingga diperoleh \begin{align*}(x-k)^2+x^2=1 \Leftrightarrow
2x^2-2kx+k^2-1=0\end{align*} Agar persamaan terakhir tidak memiliki penyelesaian real maka haruslah nilai diskriminannya yaitu $D=4k^2-4 \cdot 2 \cdot (k^2-1)$ kurang dari $0$. Sehingga didapatkan


$$k^2-4 \cdot 2 \cdot (k^2-1)$$

sehingga $k<-\sqrt{2}$ atau $k>\sqrt{2}$

Jadi, nilai k yang memenuhi agar sistem persamaan pada soal diatas tidak memiliki penyelesaian real adalah $$\{k \in \mathbb{R} | k<-\sqrt{2} \text{ atau } k > \sqrt{2}\}$$