Soal Olimpiade Matematika

8:10:00 PM
Berikut ini saya sajikan tentang soal olimpiade matematika yang saya sempat dapat di internet. Hanya satu soal saja untuk sementara dan mengisi postingan blog ini. Rencananya mau posting banyak-banyak, tapi takut nanti salah-salah.

Soalnya begini.....

Tentukan semua nilai $k$ yang mungkin sehingga tidak ada pasangan bilangan real $(x,y)$ yang memenuhi persamaan
\begin{align*}x^2-y^2&=0\\(x-k)^2+y^2&=1\end{align*}

Penyelesaian :


Dari persamaan pertama diperoleh $y=\pm x$. Hal ini berarti pasangan $(x,y)$ keduanya adalah real atau keduanya adalah imajiner. Kemudian substitusikan $y^2$ ke persamaan kedua sehingga diperoleh \begin{align*}(x-k)^2+x^2=1 \Leftrightarrow
2x^2-2kx+k^2-1=0\end{align*} Agar persamaan terakhir tidak memiliki penyelesaian real maka haruslah nilai diskriminannya yaitu $D=4k^2-4 \cdot 2 \cdot (k^2-1)$ kurang dari $0$. Sehingga didapatkan


$$k^2-4 \cdot 2 \cdot (k^2-1)$$

sehingga $k<-\sqrt{2}$ atau $k>\sqrt{2}$

Jadi, nilai k yang memenuhi agar sistem persamaan pada soal diatas tidak memiliki penyelesaian real adalah $$\{k \in \mathbb{R} | k<-\sqrt{2} \text{ atau } k > \sqrt{2}\}$$

Artikel Terkait

Next Article
« Prev Post
Previous Article
Next Post »