Integral

Perhatikan Soal Integral berikut ini. !

Tentukan Nilai dari ${\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{\sin(x)}{\sin(x)-\cos(x)}dx}$

#Langkah-Langkah Penyelesaian.


Sebelum kita mengerjakan soal tersebut, terlebih dahulu kita harus tahu tentang teori yang berkaitan dengan integral seperti berikut ini.

$${\displaystyle \int_{0}^{a}f(x)\, dx=\int_{0}^{a}f(a-x)\, dx}$$

Dari teori tersebut maka kita akan dapat menjawab  pertanyaan diatas.

Kita misalkan
\begin{eqnarray*} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{\sin(x)}{\sin(x)-\cos(x)}dx=L\end{eqnarray*} Kemudian
\begin{eqnarray*} L=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{\sin(\frac{\pi}{2}-x)}{\sin(\frac{\pi}{2}-x)-\cos(\frac{\pi}{2}-x)}dx=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{\cos(x)}{\cos(x)-\sin(x)}dx \end{eqnarray*} Kemudian kita jumlahkan kedua persamaan diatas sehingga kita dapatkan
\begin{eqnarray*} L+L&=&\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{\sin(x)}{\sin(x)-\cos(x)}dx+\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{\cos(x)}{\cos(x)-\sin(x)}dx\\ 2L&=&\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\left( \frac{\sin(x)-\cos(x)}{\sin(x)-\cos(x)}\right)dx\\ 2L&=&\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}dx\\ 2L&=&x \Bigg|_{0}^{\frac{\pi}{2}}\\ 2L&=&\frac{\pi}{2}\\ L&=&\frac{\pi}{4} \end{eqnarray*} Jadi,  ${\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{\sin(x)}{\sin(x)-\cos(x)}dx=\frac{\pi}{4}}$


Tidak Percaya ??? Silahkan Di Cek pake Maple... hehehehe :P